## Một phương trình cho sóng **Phương trình Schrödinger** là quy tắc cập nhật cho **trạng thái lượng tử** theo thời gian. Nếu cơ học cổ điển giống như chạy một mô phỏng rồi đọc ra vị trí duy nhất của quả bóng ở mỗi khung hình, thì cơ học lượng tử cập nhật một **hàm sóng** `ψ(x,t)`: một mô tả cho biết nơi phép đo *có thể* tìm thấy hạt. Đường sóng không phải đường đi ngoằn ngoèo của một hạt vật chất. Đại lượng có ý nghĩa đo được là **mật độ xác suất** `|ψ|²`, tức bình phương độ lớn của hàm sóng. Vì vậy một gói sóng có thể loe rộng, giao thoa và đổi hình ngay cả khi bạn chưa đo vị trí. <viz id="0"></viz> **Bấm Play**, rồi **kéo thanh thời gian** qua lại. So sánh chấm cổ điển với vùng xác suất: hãy quan sát gói sóng đổi độ rộng và hình dạng thay vì vẽ một quỹ đạo duy nhất. Điểm khởi đầu quan trọng là: `ψ` là đối tượng được tiến hóa bởi phương trình, còn `|ψ|²` là đối tượng dùng để dự báo kết quả đo vị trí. Cách tách hai vai trò này sẽ ngăn một nhầm lẫn phổ biến: không được đọc đỉnh sóng như “hạt đang ở đó”. Tiếp theo, bạn sẽ thấy chính xác cách một hàm sóng sinh ra phân bố xác suất trong <ref slide="2">Hàm sóng nghĩa là gì</ref>. ## Hàm sóng nghĩa là gì **Hàm sóng** `ψ(x)` thường là một số phức, nên bản thân nó không phải xác suất. Theo **quy tắc Born**, xác suất tìm hạt quanh vị trí `x` tỉ lệ với `|ψ(x)|²`. Muốn đây là một phân bố hợp lệ, tổng diện tích phải bằng `1`: `∫ |ψ(x)|² dx = 1`. Bạn có thể xem chuẩn hóa như yêu cầu một mô hình xác suất phải phân bổ đúng `100%` khối lượng xác suất, không thừa và không thiếu. Pha làm thay đổi cách các thành phần sóng cộng hoặc triệt tiêu; độ rộng và vị trí của gói làm thay đổi nơi xác suất tập trung. <viz id="1"></viz> **Kéo** vị trí, độ rộng và pha của gói, sau đó **bấm lấy mẫu phép đo** vài lần. Đối chiếu cụm chấm thu được với nơi vùng `|ψ|²` tập trung, đồng thời kiểm tra tổng xác suất. Các chấm đo không “vẽ lại” đường cong một cách tất định: mỗi lần là một mẫu ngẫu nhiên, nhưng nhiều mẫu sẽ tái tạo phân bố. Đây là điểm nối giữa trực giác xác suất quen thuộc và lượng tử: mô hình dự báo phân bố rất chính xác, không dự báo một vị trí đơn cho từng lần đo. Bây giờ ta có thể đọc công thức cập nhật `ψ` như một hệ thống gồm các thành phần có vai trò riêng. # Đọc công thức từng phần - Phương trình Schrödinger là quy tắc cập nhật cho toàn bộ hàm sóng `psi`. - Vế thời gian cho biết trạng thái biến đổi; hạng đạo hàm bậc hai gắn với độ cong và động năng; `V(x)` là địa hình thế năng tác động theo vị trí. - Khi gói sóng gặp đồi thế, thế năng làm pha lệch cục bộ trước; độ cong mới và hình dạng tiếp theo xuất hiện từ quá trình cập nhật đó. Tiếp theo: <ref slide="4">Thế năng uốn sóng</ref>. ## Thế năng uốn sóng Một **rào thế** là vùng mà `V(x)` tăng cao. Trong trực giác cổ điển, nếu năng lượng của hạt thấp hơn rào, hạt chắc chắn bật lại. Với sóng lượng tử, kết luận đúng là xác suất truyền qua có thể rất nhỏ, nhưng không nhất thiết bằng `0`. Hiện tượng đó gọi là **xuyên hầm lượng tử**. Hãy nghĩ về nó như một tín hiệu bị suy giảm trong vùng cấm thay vì một vật nhỏ cố leo qua tường. Rào càng cao hoặc càng rộng, biên độ xuyên qua càng giảm nhanh; vì xác suất là bình phương biên độ, thay đổi này có thể rất mạnh. <viz id="3"></viz> **Tăng** chiều cao rào lên quá năng lượng gói rồi **phóng** gói sóng. Sau đó **giảm** bề rộng rào và phóng lại; so sánh phần trăm truyền qua trong hai trường hợp. Xuyên hầm không vi phạm bảo toàn năng lượng: đây không phải hạt “mượn năng lượng” để vượt rào trong mô hình này. Nghiệm sóng thỏa điều kiện ở hai phía rào tạo một biên độ giảm dần bên trong và một biên độ còn lại ở phía kia. Bài học tổng quát là `V(x)` định hình nghiệm, và các điều kiện không gian có thể ép sóng chỉ nhận một số dạng nhất định. ## Hạt trong hộp Trong **hộp thế vô hạn**, hạt bị giới hạn giữa hai tường cách nhau `L`. Vì không thể tồn tại ở tường, hàm sóng phải thỏa **điều kiện biên** `ψ(0)=ψ(L)=0`. Chỉ những sóng đứng khớp trọn vẹn trong hộp mới thỏa điều kiện đó. Đây là nguồn gốc trực giác của **lượng tử hóa năng lượng**. Với `n = 1, 2, 3, ...`, các trạng thái riêng có dạng `ψₙ(x) ∝ sin(nπx/L)` và năng lượng tỉ lệ `Eₙ ∝ n²/L²`. Số `n` lớn hơn nghĩa là nhiều nút hơn, độ cong lớn hơn, nên động năng lớn hơn. <viz id="4"></viz> **Chọn** `n=1`, rồi tăng dần đến `n=5` và đếm các nút. Tiếp theo **kéo hai tường** lại gần nhau; quan sát thang năng lượng thay đổi như thế nào. Khi hộp hẹp hơn, cùng một kiểu sóng phải uốn cong gắt hơn để chạm đúng hai tường. Do hạng động năng phụ thuộc độ cong, các mức năng lượng tăng theo `1/L²`. Đây không phải giới hạn của thiết bị đo; đó là hệ quả toán học của Hamiltonian kết hợp với điều kiện biên. Các trạng thái `ψₙ` là các nghiệm năng lượng xác định, nhưng một trạng thái thực tế còn có thể là tổng của chúng. ## Nghiệm không phải đáp án cuối - Điều kiện biên trong hộp tạo các trạng thái riêng năng lượng như `psi1` và `psi2`. - Chồng chập có các pha tiến hóa khác nhau; vì vậy mật độ vị trí có thể dao động do giao thoa. - Đo năng lượng chỉ trả về `E1` hoặc `E2`, với trọng số Born `|c1|^2` và `|c2|^2`. - Phân biệt sự tiến hóa tất định của `psi` với kết quả phép đo ngẫu nhiên. Xem lại <ref slide="5">Hạt trong hộp</ref> trước thử thách ở <ref slide="7">Challenge: tạo chồng chập</ref>. ## Challenge: tạo chồng chập Trong **hộp thế vô hạn**, một trạng thái có thể là tổ hợp của hai trạng thái riêng `n = 1` và `n = 2`. Đây là một **chồng chập**: phép đo năng lượng không chọn một giá trị trung bình, mà cho một trong hai năng lượng với các xác suất do hệ số của từng trạng thái quyết định. Thử thách này yêu cầu bạn đạt hai điều cùng lúc. Bạn cần làm cho \(P(E_1)=75\%\), đồng thời tại thời điểm \(t=0{,}40\tau\), đỉnh của mật độ xác suất \(|\psi(x)|^2\) nằm gần \(x=0{,}35L\). Đây là cách tách hai vai trò thường dễ bị lẫn: **biên độ** quyết định xác suất năng lượng, còn **pha tương đối** quyết định nơi hai sóng tăng cường hoặc triệt tiêu nhau trong không gian. <viz id="1"></viz> ### Hoàn thành mục tiêu **Hãy điều chỉnh hai biên độ** cho đến khi thanh \(E_1\) chạm vạch `75%`. Các biên độ được chuẩn hoá tự động, nên điều quan trọng là tỉ lệ của chúng, không phải tổng ban đầu. Tiếp theo, **hãy chỉnh pha tương đối**. Dải màu tại \(0{,}35L\) là vùng đích; bạn cần dời chấm đỉnh vào dải này mà không phá tỉ lệ năng lượng. **Bấm “Phát tới thời điểm mục tiêu”** để đưa hệ đến \(0{,}40\tau\), rồi **bấm “Kiểm tra”**. Nếu thanh năng lượng đã đúng mà đỉnh lệch, **chỉ đổi pha**. Nếu đỉnh trông đúng nhưng \(P(E_1)\) sai, **trở lại chỉnh biên độ trước**, rồi tinh chỉnh pha. Bạn đang áp dụng ý tưởng từ <ref slide="5">Hạt trong hộp</ref>: các trạng thái riêng đặt những năng lượng có thể đo, còn chồng chập tạo mẫu xác suất biến đổi theo thời gian.